Hat ein Team von Mathematikern gerade einen großen Schritt zur Beantwortung einer 160 Jahre alten Millionen-Dollar-Frage in der Mathematik getan?
Könnte sein. Die Besatzung löste eine Reihe anderer, kleinerer Fragen in einem Bereich namens Zahlentheorie. Und damit haben sie eine alte Straße wiedereröffnet, die schließlich zu einer Antwort auf die alte Frage führen könnte: Ist die Riemann-Hypothese richtig?
Die Reimann-Hypothese ist eine grundlegende mathematische Vermutung, die enorme Auswirkungen auf den Rest der Mathematik hat. Es bildet die Grundlage für viele andere mathematische Ideen - aber niemand weiß, ob es wahr ist. Ihre Gültigkeit ist zu einer der bekanntesten offenen Fragen in der Mathematik geworden. Es ist eines von sieben "Millennium-Problemen", die im Jahr 2000 angelegt wurden, mit dem Versprechen, dass jeder, der sie löst, 1 Million Dollar gewinnen wird. (Nur eines der Probleme wurde inzwischen gelöst.)
Woher kam diese Idee?
Bereits 1859 schlug ein deutscher Mathematiker namens Bernhard Riemann eine Antwort auf eine besonders heikle mathematische Gleichung vor. Seine Hypothese lautet wie folgt: Der Realteil jeder nicht trivialen Null der Riemannschen Zeta-Funktion ist 1/2. Das ist eine ziemlich abstrakte mathematische Aussage, die damit zu tun hat, welche Zahlen Sie in eine bestimmte mathematische Funktion einfügen können, um diese Funktion gleich Null zu machen. Aber es stellt sich heraus, dass es sehr wichtig ist, vor allem in Bezug auf Fragen, wie oft Sie auf Primzahlen stoßen, wenn Sie bis ins Unendliche zählen.
Wir werden später auf die Details der Hypothese zurückkommen. Jetzt ist es wichtig zu wissen, dass die Riemann-Hypothese, wenn sie wahr ist, viele Fragen in der Mathematik beantwortet.
"In der Zahlentheorie passiert so oft, dass man, wenn man die Riemann-Hypothese annimmt, alle möglichen anderen Ergebnisse beweisen kann", sagte Lola Thompson, eine Zahlentheoretikerin am Oberlin College in Ohio, die nicht beteiligt war in dieser neuesten Forschung, sagte.
Oft, sagte sie zu Live Science, werden Zahlentheoretiker zuerst beweisen, dass etwas wahr ist, wenn die Riemann-Hypothese wahr ist. Dann werden sie diesen Beweis als eine Art Sprungbrett für einen komplizierteren Beweis verwenden, der zeigt, dass ihre ursprüngliche Schlussfolgerung wahr ist, ob die Riemann-Hypothese wahr ist oder nicht.
Die Tatsache, dass dieser Trick funktioniert, überzeugt viele Mathematiker, dass die Riemann-Hypothese wahr sein muss.
Aber die Wahrheit ist, dass niemand sicher weiß.
Ein kleiner Schritt in Richtung eines Beweises?
Wie schien uns dieses kleine Team von Mathematikern einer Lösung näher zu bringen?
"Was wir in unserer Arbeit getan haben", sagte Ken Ono, Zahlentheoretiker an der Emory University und Mitautor des neuen Beweises, "haben wir ein sehr technisches Kriterium überarbeitet, das der Riemann-Hypothese entspricht ... und wir haben uns als groß erwiesen." Ein Teil davon. Wir haben einen großen Teil dieses Kriteriums bewiesen. "
Ein "Kriterium, das der Riemann-Hypothese entspricht" bezieht sich in diesem Fall auf eine separate Aussage, die der Riemann-Hypothese mathematisch äquivalent ist.
Auf den ersten Blick ist nicht klar, warum die beiden Aussagen so miteinander verbunden sind. (Das Kriterium hat mit etwas zu tun, das als "Hyperbolizität von Jensen-Polynomen" bezeichnet wird.) In den 1920er Jahren hat ein ungarischer Mathematiker namens George Pólya jedoch bewiesen, dass die Riemann-Hypothese wahr ist, wenn dieses Kriterium wahr ist - und umgekehrt. Es ist ein alter vorgeschlagener Weg, um die Hypothese zu beweisen, aber einer, der weitgehend aufgegeben wurde.
Ono und seine Kollegen haben in einem am 21. Mai in der Zeitschrift Proceedings der Naturakademie der Wissenschaften (PNAS) veröffentlichten Artikel bewiesen, dass das Kriterium in vielen, vielen Fällen wahr ist.
Aber in der Mathematik reichen viele nicht aus, um als Beweis zu gelten. Es gibt immer noch Fälle, in denen sie nicht wissen, ob das Kriterium wahr oder falsch ist.
"Es ist, als würde man einen Powerball mit einer Million spielen", sagte Ono. "Und du kennst alle Zahlen außer den letzten 20. Wenn auch nur eine dieser letzten 20 Zahlen falsch ist, verlierst du. ... Es könnte immer noch alles auseinanderfallen."
Die Forscher müssten einen noch weiter fortgeschrittenen Beweis vorlegen, um zu zeigen, dass das Kriterium in allen Fällen wahr ist, und damit die Riemann-Hypothese beweisen. Und es ist nicht klar, wie weit ein solcher Beweis entfernt ist, sagte Ono.
Also, wie groß ist das Geschäft?
In Bezug auf die Riemann-Hypothese ist es schwer zu sagen, wie groß das ist. Viel hängt davon ab, was als nächstes passiert.
"Dies ist nur eine von vielen äquivalenten Formulierungen der Riemann-Hypothese", sagte Thompson.
Mit anderen Worten, es gibt viele andere Ideen, die wie dieses Kriterium beweisen würden, dass die Riemann-Hypothese wahr ist, wenn sie selbst bewiesen würden.
"Es ist also wirklich schwer zu wissen, wie viel Fortschritt dies ist, weil es einerseits Fortschritte in dieser Richtung gemacht hat. Aber es gibt so viele äquivalente Formulierungen, dass diese Richtung möglicherweise nicht die Riemann-Hypothese liefert. Vielleicht eine von Die anderen äquivalenten Sätze werden es stattdessen tun, wenn jemand einen davon beweisen kann ", sagte Thompson.
Wenn der Beweis auf diesem Weg auftaucht, bedeutet dies wahrscheinlich, dass Ono und seine Kollegen einen wichtigen Rahmen für die Lösung der Riemann-Hypothese entwickelt haben. Aber wenn es woanders auftaucht, wird sich dieses Papier als weniger wichtig herausstellen.
Trotzdem sind Mathematiker beeindruckt.
"Obwohl dies weit davon entfernt ist, die Riemann-Hypothese zu beweisen, ist es ein großer Schritt nach vorne", schrieb Encrico Bombieri, ein Princeton-Zahlentheoretiker, der nicht an der Forschung des Teams beteiligt war, in einem begleitenden PNAS-Artikel vom 23. Mai. "Es besteht kein Zweifel, dass dieses Papier weitere grundlegende Arbeiten in anderen Bereichen der Zahlentheorie sowie in der mathematischen Physik inspirieren wird."
(Bombieri gewann 1974 eine Fields-Medaille - den renommiertesten Preis in der Mathematik - zum großen Teil für Arbeiten im Zusammenhang mit der Riemann-Hypothese.)
Was bedeutet die Riemannsche Hypothese überhaupt?
Ich habe versprochen, dass wir darauf zurückkommen werden. Hier noch einmal die Riemann-Hypothese: Der Realteil jeder nicht trivialen Null der Riemann-Zeta-Funktion ist 1/2.
Lassen Sie uns das danach aufschlüsseln, wie Thompson und Ono es erklärt haben.
Was ist die Riemannsche Zeta-Funktion?
In der Mathematik ist eine Funktion eine Beziehung zwischen verschiedenen mathematischen Größen. Ein einfaches könnte so aussehen: y = 2x.
Die Riemannsche Zetafunktion folgt den gleichen Grundprinzipien. Nur ist es viel komplizierter. So sieht es aus.
Es ist eine Summe einer unendlichen Folge, bei der jeder Begriff - die ersten sind 1/1 ^ s, 1/2 ^ s und 1/3 ^ s - zu den vorherigen Begriffen hinzugefügt wird. Diese Ellipsen bedeuten, dass die Serie in der Funktion für immer so weitergeht.
Jetzt können wir die zweite Frage beantworten: Was ist eine Null der Riemannschen Zeta-Funktion?
Das ist einfacher. Eine "Null" der Funktion ist eine beliebige Zahl, die Sie für x eingeben können, wodurch die Funktion gleich Null wird.
Nächste Frage: Was ist der "Realteil" einer dieser Nullen und was bedeutet es, dass sie gleich 1/2 ist?
Die Riemannsche Zeta-Funktion beinhaltet das, was Mathematiker "komplexe Zahlen" nennen. Eine komplexe Zahl sieht folgendermaßen aus: a + b * i.
In dieser Gleichung stehen "a" und "b" für beliebige reelle Zahlen. Eine reelle Zahl kann zwischen minus 3, null, 4,9234, pi oder 1 Milliarde liegen. Aber es gibt noch eine andere Art von Zahl: imaginäre Zahlen. Imaginäre Zahlen entstehen, wenn Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen. Sie sind wichtig und tauchen in allen möglichen mathematischen Kontexten auf.
Die einfachste imaginäre Zahl ist die Quadratwurzel von -1, die als "i" geschrieben wird. Eine komplexe Zahl ist eine reelle Zahl ("a") plus eine andere reelle Zahl ("b") mal i. Der "Realteil" einer komplexen Zahl ist "a".
Einige Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion, negative ganze Zahlen zwischen -10 und 0, zählen für die Reimann-Hypothese nicht. Diese werden als "triviale" Nullen betrachtet, da es sich um reelle Zahlen handelt, nicht um komplexe Zahlen. Alle anderen Nullen sind "nicht triviale" und komplexe Zahlen.
Die Riemann-Hypothese besagt, dass, wenn die Riemann-Zeta-Funktion Null überschreitet (mit Ausnahme der Nullen zwischen -10 und 0), der Realteil der komplexen Zahl gleich 1/2 sein muss.
Diese kleine Behauptung mag nicht sehr wichtig klingen. Aber es ist. Und wir sind vielleicht ein bisschen näher dran, es zu lösen.
